Tratamiento de datos y azar: U2 RA2.1 Actividad 2: Distribución Binomial

Modelo de Binomial

La distribución de probabilidad binomial es una distribución discreta. Se asocia con un experimento de múltiples pasos que se llama experimento binomial.

De este modo, en otras palabras, la distribución binomial se define como una serie de experimentos o ensayos en los que solo podemos tener 2 posibles resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito la variable aleatoria.

La palabra binomial viene de otra palabra que significa “dos nombres” y esto nos hará recordar que en cada ensayo que veremos en este tema siempre habrá dos resultados: éxito y fracaso.

Ejemplos:

Si es que respondes una pregunta de alternativas al azar, la respuesta es correcta o incorrecta.
Si es que realizas un control de calidad a un producto, este será defectuoso o no defectuoso. Si es que lanzas una moneda, sale cara o sale cruz.

Para estudiar esta distribución binomial, empezaremos conociendo los experimentos binomiales, como, por ejemplo, el lanzamiento de una moneda.

1) Experimento binomial

Un experimento binomial es un experimento que cumple las siguientes condiciones:

i) El experimento consta de una secuencia de n ensayos idénticos.
ii) En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de ellos se le llama éxito y al otro, fracaso.
iii) La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro, nunca cambia y se denota por p. Por ello, la probabilidad de fracaso será 1 – p.

Esto se debe a que la probabilidad de éxito más la probabilidad de fracaso suman 1.

iv) Los ensayos son independientes, de modo que el resultado de cualquiera de ellos no influye en el resultado de cualquier otro ensayo.

Antes de resolver un ejercicio aplicando la fórmula de probabilidad binomial, tenemos que verificar siempre que se cumplen estas cuatro condiciones, pues esta fórmula solo funciona para experimentos binomiales.

2) Las hamburguesas de Jorge

Últimamente con las clases de matemática no me va muy bien, por eso, he puesto mi cafetería. Preparo unas cosas riquísimas, pasteles, pizza, agua helada, pero lo más vendido son las matehamburguesas, las únicas hamburguesas que se venden con papas y leche chocolatada.

La probabilidad de que a un cliente nuevo le guste la matehamburguesa es de 0,8. Si vienen 3 nuevos clientes a mí cafetería ¿cuál será la probabilidad de que solo a dos de ellos les guste la hamburguesa?

Si al cliente le gusta la hamburguesa tendrá carita feliz y si no le gusta, tendrá carita molesta. Por ejemplo, si a los dos primeros les gusta y al tercero no, colocaré esta gráfica:

Pero no es la única opción, en total son tres opciones. Que a los dos primeros les guste y al tercero no. Que al primero y al tercero les guste, y al segundo no. O que les guste al segundo y tercero y al primero no. Graficamos estas tres opciones:

Si la probabilidad de que a un cliente le guste la matehamburguesas es de 0,8, entonces, la probabilidad de que no le gusten será:

Ahora calcularemos la probabilidad de que ocurra cada evento. Por ejemplo, en la primera línea, calcularemos la probabilidad de que al primer y al segundo cliente les guste la hamburguesa y que al tercero no. Aplicaremos la regla de la multiplicación de probabilidades para eventos independientes.

Coloco ahora todas las opciones.

Esas mismas probabilidades, las colocaré en forma de potencias:

Me quedaré solo con las potencias, eliminando el resto.

A continuación, calculamos la probabilidad total de que solo a 2 de los 3 clientes les guste mi hamburguesa empleando la regla de la suma de probabilidades para eventos mutuamente excluyentes.

Si esta multiplicación la metemos a la calculadora, nos quedaría 0,384.

3) Función de probabilidad binomial (fórmula)

Para un experimento binomial, sea p la probabilidad de “éxito” y 1-p la probabilidad de un “fracaso” en un solo ensayo; entonces la probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos, está dada por la función de probabilidad f(x):

Siendo el coeficiente binomial o número combinatorio:

Por eso, en algunos libros encontrarás la función de probabilidad binomial f(x) con el coeficiente binomial ya incorporado y presentada de la siguiente manera:

distribución binomial ejercicios resueltos

La función de probabilidad binomial se aplica a cualquier experimento binomial. Si una situación demuestra las propiedades de un experimento binomial y se conocen los valores de n y p, se puede usar la ecuación de arriba para calcular la probabilidad de x éxitos en n ensayos.

Recuerda, antes de usar la fórmula de probabilidad binomial, siempre verifica que te encuentres ante un experimento binomial.

4) Media, varianza y desviación estándar de la distribución binomial

La media, la varianza y la desviación estándar se pueden encontrar con estas fórmulas:

Media:

Varianza:

Desviación estándar:

5) Ejemplo 1

La probabilidad de que a un cliente nuevo le guste la matehamburguesa de Jorge es de 0,8. Si llegan 5 clientes nuevos a la cafetería, ¿cuál es la probabilidad de que solo a 3 de ellos les guste la matehamburguesa?

Solución:

Antes de aplicar la fórmula, verificamos que se trate de un experimento binomial. Para ello, tiene que cumplir con las 4 condiciones que mencionamos arriba.

En este caso, vamos a centrarnos en los clientes a los que les gusta esta hamburguesa, por ello diremos que:

X = número de clientes nuevos de 5 a los que les gusta la matehamburguesa

Entonces consideramos un éxito si al cliente le gusta esta hamburguesa.

Aplicaremos la fórmula binomial:

Ahora colocamos los valores de n, k y p. Recuerda que n es el número de ensayos, k el número de éxitos y p la probabilidad de éxito.

Reemplazamos estos valores en la fórmula:

La respuesta sería 0,2048.

Recuerda que X, nuestra variable aleatoria, es el número de clientes nuevos de 5 a los que les gustan las hamburguesas de Jorge. Aunque el problema no lo pide, vamos a elaborar la tablita de distribución de probabilidad. Para calcular todas las probabilidades, usaré la misma fórmula de arriba.

Vamos a elaborar una gráfica para representar esta distribución de probabilidad, empleando un diagrama de barras.

Ejemplo 2

De todas las flores plantadas por una empresa de jardinería, el 90% sobrevive. Si se plantan 10 flores ¿cuál es la probabilidad de que 9 o más sobrevivan?

Solución:

Antes de aplicar la fórmula, verificamos que se trate de un experimento binomial. Para ello, tiene que cumplir con las 4 condiciones que mencionamos arriba. Efectivamente, se trata de un experimento binomial.

En este caso, vamos a centrarnos en las flores que sobreviven, por ello diremos que:

X = número de flores de 10 que sobreviven

Entonces consideramos un éxito si la flor sobrevive. A las que flores que se mueren, las consideramos como un fracaso.

Aplicaremos la fórmula binomial:

Nos piden calcular la probabilidad de 9 o más sobrevivan.

Este problema tiene trampa, porque dado que se plantaron 10 flores, la máxima cantidad de flores que pueden sobrevivir es 10, por lo tanto:

Ahora colocamos los valores de n, x y p. Recuerda que n es el número de ensayos, x el número de éxitos y p la probabilidad de éxito. En este caso:

Regresamos con la fórmula de arriba:

Vamos a calcular cada probabilidad por separado, empezando con P(X = 9):

Continuamos con P(X = 10).

Regresamos con esta fórmula:

Y reemplazamos lo calculado:

Ejemplo 3

Considere un experimento binomial con dos ensayos y p=0,4.
a) Calcular la probabilidad de no obtener ningún éxito.
b) Calcular la probabilidad de obtener al menos 1 éxito.

Solución:

Iniciamos definiendo la variable aleatoria de interés en nuestro experimento binomial:

X = número de éxitos en n ensayos.

x = 0; 1; 2.

El enunciado nos dice que: n = 2 y que p = 0,4; con ello podemos definir la función de probabilidad de X.