En el lenguaje común y matemático Permutar significa cambiar el orden.
Definición.- Se llama permutación de un cierto número de objetos, a cada disposición u ordenación difente de ellos.
Una permutación es una determinada ordenación de todas las que se pueden hacer con los elementos de un conjunto. En cada una de estas ordenaciones entrarán todos los elementos del conjunto considerado sin repetirse ninguno de ellos. En cada permutación para un conjunto de n elementos tendremos que cubrir n posiciones.
Así el número de permutaciones posibles para un conjunto de n elementos, aplicando el principio multiplicativo será:
Pn = n*(n-1) (n-2)(n-3)* …*4*3*2*1
En la primera posición en esta fórmula podemos colocar n elementos (cualquiera de los elementos del conjunto), pero en la segunda posición podremos colocar un elemento menos (n-1), ya que el que hemos colocado en la primera no puede aparecer ya en la segunda, y así sucesivamente, hasta cubrir las n posiciones: en la última posición solo podremos colocar el último elemento que nos queda.
Factorial
El número que nos resulta, es el producto de los n primeros números naturales que se llama factorial de n y se escribe n!
Por lo cual tenemos:
n! = 1*2*3*4*... (n-3)*(n-2)*(n-1)* n
Como la multiplicación es una operación conmutativa, es decir, el orden de los factores no altera el producto, también podemos expresar n! de la siguiente manera:
n! = n*(n-1)* (n-2)* (n-3)* …4*3*2*1
Con lo que tenemos que el número total de permutaciones de n elementos será
Pn= n!
Operaciones con Factoriales
Resuelve los siguientes ejercicios:
Por convención 0!= 1 y 1!=1
2!= 1*2=
3!= 1*2*3=
4!= 1*2*3*4=
5!=1*2*3*4*5=
6!= 1*2*3*4*5*6=
7!= 1*2*3*4*5*6*7=
8!= 1*2*3*4*5*6*7*8=
9!=1*2*3*4*5*6*7*8*9=
10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=
15!=
20!=
En equipos de 5 integrantes evalúa las siguientes expresiones con factoriales. Después realiza una presentación en POWE POINT.
Nombre del archivo:
Grupo_Primer Nombre_Primer Apellido_Permutaciones.pptx
1. ¿Cuántas maneras existen para formar 9 niños?
2. ¿Cuántas maneras existen para organizar 3 libros de cocina, 5 libros de texto, 7 novelas y 4 libros en un estante si se mantienen los grupos?
3. ¿De cuántas maneras puede un gerente de equipo de béisbol organizar nueve jugadores en una alineación?
4. ¿De cuántas maneras se pueden arreglar las letras de la palabra FACTOR DE?
5. ¿De cuántas maneras se pueden alinear 12 autobuses escolares?
6. ¿De cuántas maneras se pueden sentar ocho niñas juntas en una fila?
Donde:
- n = a+b+c
Hay tres condiciones en la permutación con repetición:
- Importa el orden.
- Hay elementos repetidos.
- Participan todos los elementos en los ordenamientos.
Ejemplo 1
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra BANANA?
Solución:
Coloquemos algunas palabras como ejemplos:
- ANANAB.
- BANAAN.
- NAANAB.
En este caso, podemos ver que algunos elementos se repiten: la letra A aparece 3 veces en la palabra BANANA, mientras que la letra N aparece 2 veces. Además, importa el orden en el que se coloquen las letras, ya que ANANAB no es la misma palabra que BANAAN. Finalmente, participan todos los elementos en los ordenamientos, es decir, las 6 letras de la palabra BANANA.
Entonces, podemos aplicar la fórmula de permutación con repetición, teniendo en cuenta que:
- Número de veces que se repite la letra B = 1
- Número de veces que se repite la letra A = 3
- Número de veces que se repite la letra N = 2
- Número total de elementos: n = 1+3+2 ➜ n = 6
Ejemplo 2
En una urna, hay 5 bolas del mismo tamaño y peso, de los cuales, 3 son rojas y 2 son azules. ¿De cuántas maneras se pueden extraer una a una las bolas de la urna?
Solución:
Coloquemos algunas formas de extraer las bolas:
- Roja – Roja – Azul – Roja – Azul.
- Azul – Roja – Roja – Azul – Roja.
- Roja – Azul – Roja – Azul – Roja.
- ..
En cada forma de extraer las bolas, importa el orden, hay elementos repetidos y participan todos los elementos (bolas), por ello, usaremos la fórmula de permutación con elementos repetidos.
- Número de bolas rojas: 3.
- Número de bolas azules: 2.
- Número total de elementos: n = 3+2 ➜ n=5
 |
| Presiona en la imagen para subir tu actividad de Números factoriales y Permutaciones con repetición |
 |
| Presiona en la imagen para ver tu calificación y retro alimentación |
